PEMBUKTIAN: LANGSUNG, TAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA

Nama: Kania Az Zahra (17)
Kelas: XI IPS 2

1. Pembuktian Langsung
dilakukan dengan menguraikan premis dengan dilandasi oleh definisi, fakta, aksioma yang ada untuk sampai pada suatu kesimpulan (konklusi) 
Contoh: Buktikan bahwa : “jika n bilangan ganjil, maka n² bilangan ganjil”.
Bukti:  
Diketahui bahwa n bilangan ganjil maka dapat dituliskanbahwa n = 2k+1 dengan k bilangan bulat
sehingga n² = (2k+1) 2 = 4k² + 4k + 1 = 2(2k²+2)+1
Bentuk 2(2k²+2k)+1 adalah bilangan ganjil
Jadi, n² adalah bilangan ganjil

2. Pembuktian Tidak Langsung  
dilakukan dengan 2 cara yaitu:
a. kontraposisi
digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi. untuk membutikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut.
secara simbolik: p → q ≡ ~q → ~p  
contoh: buktikan bahwa “jika n² bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”
Bukti:
Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan kebenaran kontraposisinya. Misalnya : p = n² bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil
Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?  
Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.  
Akibatnya n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²).
Artinya n²  bilangan genap.  
Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,  
sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.
Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n² bilanganganjil maka n adalah bilangan ganjil. 
b. kontradiksi
kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada 
Contoh: Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n² ganjil, maka n ganjil”.
Bukti: 
Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat genap.
Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.  
Dengan demikian maka n² = (2k)² atau n² = 4k²  
Ini menunjukkan bahwa  n² = bilangan bulat genap (~p)
Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedangdari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar. Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

C. Induksi Matematika
adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli 
Prinsip Induksi Matematika:
Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.  
Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n. 
Contoh: Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 +  … + (2n-1) = n², untuk semua bilangan asli n”.  
Bukti: 
Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n²
P(1) benar, sebab 1 = 1  
Bila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k², maka 
1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1.
= k² + 2k + 1  
= (k + 1)²  
Sehingga P(k+1) benar
  

LOGIKA MATEMATIKA

Nama: Kania Az Zahra (18)
Kelas: XI IPS 2

Logika matematika merupakan sebuah Ilmu yang menggabungkan ilmu logika dan ilmu matematika sebagai kuncinya dan merupakan landasan dasar untuk mengambil sebuah kesimpulan

Apa saja contoh dari logika matematika?
Yang dimaksud logika matematik adalah konjungsi, disjungsi, negasi, implikasi, biimplikasi, kalimat berkuantor, kalimat equivalen, dan masih banyak lainnya. Berikut pembahasannya. Konjungsi, Disjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut juga sebagai pernyataan majemuk

Pernyataan

Apakah sebuah pernyataan itu? dalam matematika pernyataan merupakan sebuah kalimat yang bisa dinyatakan sebagai pernyataan yang bernilai benar (B) maupun salah (S), namun tidak bisa dinyatakan keduanya. 

Sebuah kalimat dapat dinyatakan sebagai pernyataan jika bisa ditentukan nilai benar atau salahnya.

Sementara itu jika sebuah kalimat tidak bisa ditentukan benar atau salahnya maka disebut sebagai pernyataan relatif.

Terdapat 2 jenis pernyataan yaitu pernyataan terbuka dan pernyataan tertutup. Berikut masing-masing penjelasan.

1. Pernyataan Terbuka

Pernyataan terbuka merupakan pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai kebenaran atau salahnya

contoh : besok pagi akan terjadi hujan lebat (belum dapat dipastikan kebenarannya)

2. Pernyataan Tertutup

pernyataan tertutup adalah pernyataan yang sudah bisa dipastikan baik nilai benar maupun salahnya

Contoh pernyataan tertutup:

•  20 + 80 = 100 (benar)
• 10 + 5 = 12 (salah)

3. Pernyataan Relatif
Pernyataan relatif adalah pernyataan yang bisa bernilai benar namun juga salah

contoh dari Pernyataan relatif:

• Musik dangdut merupakan musik yang menyenangkan (Merupakan pernyataan relatif karena tidak semua orang menyukai musik dangdut)
• Bakso merupakan makanan yang enak (ini termasuk pernyataan relatif karena sebagian orang ada yang bilang bakso enak ada juga yang bilang bakso tidak enak)

Konjungsi

apakah konjungsi itu? konjungsi adalah sebuah pernyataan yang bernilai benar hanya jika kedua pernyataan benar. Pernyataan akan salah jika salah satu pernyataan atau keduanya adalah salah

Dapat juga dikatakan jika ada satu saja pernyataan yang bernilai salah maka hasilnya pasti salah

Dua pernyataan dalam konjungsi digabungkan dengan menggunakan tanda ^ yang berarti “dan”

Tabel Kebenaran Konjungsi

 

Untuk lebih jelasnya, silahkan perhatikan penjelasan berikut

• Jika p benar dan q benar maka (p^q) = benar
• Jika p benar dan q salah maka (p^q) = salah
• Jika p salah dan q benar maka (p^q) = salah
• Jika p salah dan q salah maka (p^q) == salah

Disjungsi 

Apakah disjungsi itu? Nah disjungsi berbeda dengan konjungsi, pada  disjungsi menggunakan symbol ˅ yang berarti “atau”

pada disjungsi apabila salah satu dari dua pernyataan merupakan benar, maka hasilnya adalah benar. Namun jika keduanya salah, maka pernyataan dianggap salah

Tabel Kebenaran Disjungsi:

 

Berikut penjelasan lebih lanjut

• JikaJi benar dan q benar maka (p˅q) = benar
• Jika p benar dan q salah maka (p˅q) = benar
• Jika p salah dan q benar maka (p˅q) = benar
• Jika salah dan q salah maka (p˅q) == salah

Negasi
Negasi merupakan sebuah pernyataan yang menyanggah nilai sebenarnya. Negasi sering disebut juga dengan ingkaran
Sebuah ingkaran atau negasi biasanya dimulai dengan kata “tidak benar bahwa…” untuk menyanggah kalimat sebenarnya
berikut contoh untuk kalimat negasi.
Pernyataan A:
Semua benda jatuh ke tanah
Negasi atau ingkaran dari pernyataan A:
Tidak benar bahwa semu benda jatuh ke tanah
Dalam matematika negasi dinyatakan dengan symbol ~

Implikasi

Apakah implikasi itu? Implikasi merupakan dua buah pernyataan yang dihubungkan dengan symbol ⇒ yang berarti “Jika p… maka q…”.

Berikut ini merupakan Tabel kebenaran implikasi

 

Berikut penjelasan implikasi lebih lanjut

• Jika p benar dan q benar maka (p⇒q) = benar
• Jika p benar dan q salah maka (p⇒q) = salah
• Jika p salah dan q benar maka (p⇒q) = benar
• Jika p salah dan q salah maka (p⇒q) = benar

Kesimpulannya adalah dalam implikasi hanya dinyatakan salah jika pernyataan pertama benar, namun pernyataan kedua salah

Biimplikasi

Biimplikasi merupakan pernyataan yang hanya akan menyatakan benar jika kedua pernyataan menyatakan kesamaan nilai baik itu bernilai benar maupun salah

Dalam matematika biimplikasi dinyatakan menggunakan symbol ⇔ yang memiliki arti “p… jika dan hanya jika q…”

Tabel Kebenaran Biimplikasi

 

Agarlebih jelas, berikut pembahasan singkatnya.

• Jika p benar dan q benar maka (p⇔q) = benar
• Jika p benar dan q salah maka (p⇔q) = salah
• Jika p salah dan q benar maka (p⇔q) = salah
• Jika p salah dan q salah maka (p⇔q) = benar

Ekuivalensi Pernyataan Majemuk

Ekuivalensi adalah pernyataan majemuk yang berbeda namun memiliki nilai yang sama atau biasa disebut ekuivalen

Ekuivalensi biasanya ditampilkan dalam bentuk rumus, contohnya adalah seperti dibawah ini:

~(p^q) = p˅~q
~(p˅q) = p^~q
(p⇒q) = p˅~q

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Pada implikasi akan dikenal dengan istilah konvers, invers, dan kontraposisi. supaya lebih mudah dalam memahami hal tersebut, berikut penjelasan lebih lanjut

diketahui sebuah implikasi p⇒q

maka konversnya adalah q⇒p

inversnya adalah ~p⇒q 

kontraposisinya adalah ~q⇒~p

Kuantor Pernyataan

Kuantor pernyataan merupakan sebuah bentuk dari pernyataan yang mengandung nilai kuantitas didalamnya

kuantor pernyataan ada 2 jenis  kuantor universal dan kuantor eksistensial

1. Kuantor Universal

Kuantor universal yang disebut juga kuantor umum adalah pernyataan yang menggunakan kata “untuk setiap” atau “untuk semua”

Kuantor universal disimbolkan dengan x

Contoh: Pernyataan “semua bunga adalah indah”. Maka notasinya adalah (∀x), [ B(x) → I(x) ]

2. Kuantor Eksistensial

Kuantor eksistensial atau kuantor khusus adalah pernyataan yang menggunakan “beberapa”, “terdapat, dan “ada”

Simbol yang digunakan adalah Ǝx

Sebagai contoh:

pernyataan “Ada bunga yang jelek”. Maka notasinya adalah (Ǝx),Jx

Ingkaran dari Pernyataan Kuator

Sama halnya dengan pernyataan kuantor juga memiliki negasi atau ingkaran. Hukum negasi ini adalah bahwa negasi dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya

Sebagai contoh adalah:

p : semua bunga adalah indah

~p : semua bunga tidaklah indah

Penarikan Kesimpulan

Penarikan kesimpulan merupakan materi terakhir dalam logika matematika. Kesimpulan bisa ditarik dari premis atau pernyataan yang telah ada. Ada tiga metode untuk melakukan penarikan kesimpulan 

1. Modus Ponens

Modus ponens mempunyai rumus:

premis 1: p→q

premis 2: p

kesimpulan: q

Artinya jika diketahui p→q dan p, maka kesimpulannya adalah q

Contoh:

Premis 1: Jika musim semi tiba, bunga mekar

Premis 2: Musim semi tiba

Kesimpulan : Bunga mekar

2. Modus Tollens

Premis 1: p→q

Premis 2: ~q

Kesimpulan: ~p

Contoh:

Premis 1: Jika hari Senin saya upacara bendera

Premis 2: saya tidak upacara bendera

Kesimpulan: bukan merupakan hari senin

3. Silogisme

Premis 1: p→q
Premis 2: q→r
Kesimpulan: p→r

Contoh:

Premis 1: Jika hari minggu maka saya libur sekolah

Premis 2: Jika libur sekolah saya pergi memancing

Kesimpulan: Jika saya memancing maka hari minggu