SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI II

Nama: Kania Az Zahra (18)
Kelas: X IPS 2

3.7 Menyelesaikan cara merubah satuan pengukuran sudut radian ke derajat dan derajat ke radian.
1. Radian ke derajat
a. Ubahlah sudut 0,45 radian ke dalam bentuk derajat!
penyelesaian: 1 radian = 180°/π, maka = 0,45 ⦁ 180°/π = 0,45 ⦁ 180° = 25,80°
b. Sudut 2/5 radian sama dengan berapa derajat?
penyelesaian: 1 radian = 180°/π, maka = 2/5 ⦁ 180°/π =2/5 ⦁ 180° =72°
2. Derajat ke radian
a. 1/6π dapat ditulis dengan 30°
penyelesaian: 1°  = π radian/180, maka = 1/6π ⦁ π radian/180 = 30°
b. Ubahlah sudut 89°  ke dalam radian!
penyelesaian: 1°  = π radian/180, maka =
89° ⦁ π radian/180
89° = 0,494π
89° = 0,494 (3,14)
89° = 1,55π

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, cotangen) pada segitiga siku-siku dan sudut istimewa (60°, 30°,  45°)
a.      

 

penyelesaian: sin 60° = sin (∠DAC) = CD/AC = √3/2 = 1/2 √3       

b.

penyelesaian: cos 30° = sin (∠DCA) = AD/AC = 1/2

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku di dalam koordinat kartesius

Segitiga KLM memiliki koordinat K(-5,-2), L(3,-2), M(-5,4). Nilai cos L dan tan M berturut-turut adalah?

penyelesaian: tampak bahwa segitiga KLM merupakan segitiga dengan siku-siku di L. dari gambar diatas, diketahui bahwa KL = 3-(-5) = 8. KM = 4-(-2) = 6. Dengan menggunakan teorema pythagoras, diperoleh:

LM = √KL² + √KM² = √8² + √6² = √64 + √36 = √100 = 10

untuk itu, cos L = KLM = 8/10 = 4/5. tan M = KLM = 8/6 = 4/3

jadi, nilai cos L dan tan M berturut-turut adalh 4/5 dan 4/3

3.7 Menyelesaikan nilai trigonometri pada suatu sudut segitiga siku-siku pada koordinat cartesius

penyelesaian: x = 7, y = -24, r = 25 (pythagoras).

koordinat kartesius = cos = absis/radius

cos 𝛉 = x/r = 7/25

3.7 Menyelesaikan komposisi operasi (+, -, :, ⦁) nilai trigonometri

a. tentukanlah nilai cos 120° sin 60°

penyelesaian: 

cos 120° sin 60° = 1/2 (sin (A+B) - sin (A-B))

                            = 1/2 (sin (120° + 60°) - sin (120° - 60°))

                            = 1/2 (sin 180°) - sin (60°))

                            = 1/2 (0 - 1/2 √3)

                            = 1/2 (-1/2 √3)

                            = -1/4 √3

b. tentukanlah nilai 75° cos 15°

penyelesaian: 

75° cos 15° = 1/2 (sin (A+B) + sin (A-B))

                    = 1/2 (sin 75° + 15°) + sin (75° - 15°))

                    = 1/2 sin (90°) + sin (60°))

                    = 1/2 (1 + 1/2 √3)

                    = 1/2 + 1/4 √3

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran

a. Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya

sin 50°
tan 40°
cos 35°

penyelesaian:
sin 50° = sin (90° − 400°) = cos 40° 
tan 40° = tan (90° − 50°) = cot 50° 
cos 35° = cos (90° − 55°) = sin 55° 
Ketiganya bernilai positif, karena sudut 50°, 40° dan 35° berada di kuadran I.

b. Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya

sin 20°

tan 40°

cos 53°

penyelesaian:

sin 20° = sin (90°-70°) = cos 70°

tan 40° = tan (90°-50°) = cot 50°

cos 53° = cos (90°-37°) = sin 37°

3.8  Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut berelasi (kuadrat: I, II, III, IV), sudut negatif, dan sudut > 360⁰

a. Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° ini:

tan 140°
sin 230°
cos 320°

penyelesaian:
Sudut 140° ada pada kuadran II, hingga tan 140° memiliki nilai negatif.
tan 140° = tan (180°−37°) = -tan 37°
Sudut 230° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.
sin 230° = sin (270°−37°) = -cos 37°

b. Nyatakan setiap perbandingan trigonometri berikut dalam sudut 37° !
tan 143°
sin 233°
cos 323°
penyelesaian:
Sudut 143° terletak pada kuadran II, sehingga tan 143° bernilai negatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
tan 143° = -tan 37°
Sudut 233° terletak pada kuadran III, sehingga sinus bernilai negatif.
sin 233° = sin (270° − 37°)
tan 233° = -cos 37°
Perhatikan bahwa sin berubah menjadi cos karena relasi yang digunakan (270°−α)
Sudut 323° terletak pada kuadran IV, sehingga cosinus bernilai positif.
cos 323° = cos (360° − 37°)
cos 323° = cos 37°

3.8 Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana atau persamaan indentitas trigonometri = rumus identitas trigonometri

Jika cos2A=−725 untuk 180∘≤2A≤270∘, maka ⋯⋅

Diketahui cos2A=−7/25.
Karena 180∘≤2A≤270∘, maka dengan membagi 2 pada ketiga ruasnya, diperoleh
90∘≤A≤135∘.
Jadi, A berada di kuadran II.
Perhatikan bahwa cos2A=2cos2A−1.
cos2A=−7/25

2cos2A−1=−7/25

cos2A=9/25

cosA=−35cosA bernilai negatif karena A berada di kuadranII

segitiga siku-sikutanA

cscA=mi/de=5/4

3.8 Menyelesaikan Koordinat kutub ke koordinat kartesius, koordinat kartesius ke koordinat kutub

a. koordinat kutub ke koordinat kartesius

jika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°), maka koordinat kartesiusnya?

penyelesaian: koordinat kutub (r,α), koordinat kartesius (x,y)

r = 6√3, a = 60° (karena α sudut kuadran I, maka x dan y positif)

x = r cos α                    y = r sin α

x = 6√3 ⦁ cos 60°          y = 6√3 ⦁ sin 60°      

x = 6√3 ⦁ 1/2                 y = 6√3 ⦁ 1/2 √3         

x = 3√3                          y = 3 ⦁ 3 = 9

koordinat kartesius (3√3, 9)

b. koordinat kartesius ke koordinat kutub

koordinat kutub titik (-4,4) adalah?

penyelesaian: (x,y) → (r,α)

x = -4, y = 4

r =  √x² + √y²        tan α = x/y

r = √-4² + √4²        tan α = 4/-4

r = √32 = 4√2       tan α = -1

karena α sudut di kuadran II, maka α = (180°-45°) = 135°

koordinat kutub (4√2, 135°)

3.8 Menyelesaikan soal cerita perbandingan trigonometri

a. seorang siswa akan mengukur tinggi pohon yang berjarak 4√3m dari dirinya. antara mata dengan puncak pohon tsb terbentuk sudut elevasi 30°. jika tinggi siswa tersebut terukur sampai mata adalah 1,6m berapakah tinggi pohon?
penyelesaian:

• jarak antara puncak pohon dengan bagian pohon yang segaris dengan mata siswa tsb = x
• jarak antara bagian pohon yang segaris dengan mata siswa sampai tanah = y

menghitung tinggi x dengan perbandingan tangen dari sudut elevasi yang terbentuk.
tan 30° = x/4√3 = 3√3
3x = (4√3) ⦁ √3
3x = 12m
x = 4m
tinggi pohon = x + y = 4m + 1,6m = 5,6m
b. bagus berdiri dengan jarak 80 m darisebuah menara memandang puncak menara dengan sudut elevasi 30°. jika jarak mata bagus dengan tanah adalah 150 cm, tinggi menara tsb adalah?
penyelesaian:

• 155 cm = 1,55 m
• tan 45° = tinggi tiang bendera sampai ketinggian anak/jarak anak dan tiang bendera
• tinggi tiang bendera sampai ketinggian anak = tan 45° ⦁ jarak anak dan tiang bendera
• tinggi tiang bendera sampai ketinggian anak = 1 ⦁ 12 m = 12 m
• tinggi total tiang bendera = tinggi anak + tinggi tiang bendera sampai ketinggian anak
• tinggi total tiang bendera = 12 m + 1,55 m = 13,55 m

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 2 sudut dan 1 sisi

Tentukan besar sudut θ dari segitiga berikut

penyelesaian:

8sinθ =4√6 sin60∘

sin θ = 8×sin60∘4√6
sin R = 8×12√3 4√6 (rasionalkan)
sin R = 12√2⇒ θ = 45°

Jadi, besar sudut θ adalah 45°

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 1 sudut dan 2 sisi

a. andi sedang mengukur mainan segitiganya yang tiap sudutnya dikodekan dengan A, B, C, kemudian diketahui segitiga tsb memiliki sudut. ∠A = 30°, sisi a = 6 cm, dan sisi b = 8 cm. hitung besar sudut B

penyelesaian:

sin B = (b sin A)/a
sin B = 8/6 sin 30
sin B = 2/3
B = arc sin B
B = arc sin (2/3)
B =41,8°
besar sudut B = 41,8° atau 180°-41,8° = 138,2°
b. diketahui suatu taman di tengah kota berbentuk segitiga sembarang. jika sudut diapit sebesar 60° dan dua sisi yang mengapitnya masing-masing panjangnya 18 m dan 16 m maka luas taman tsb adalah?

penyelesaian: 

L = 1/2 ⦁ 18 ⦁ 16 ⦁ sin 60°
L = 1/2 ⦁ 18 ⦁ 16 ⦁ 1/2 √3

L = 72√3 m²

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sisi
diketahui segitiga ABC memiliki sisi dengan panjang a = 10, c = 12, ∠B = 60°. hitunglah sisi B
penyelesaian:
b² = a² + c² - 2ac cos B
b² =10² + 12² - 44 cos 60°
b² = 100 + 144 - 44 ⦁ 0,5
b² = 244-22
b² = 222
b² = 14, 8997

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sudut
Diketahui segitiga PQR dengan PQ = 2√3, QR = 1 dan PR = √7. Jika  ∠Q = θ, tentukan θ!

Dengan aturan cosinus :
(√7)2 = (1)2 + (2√3)2 − 2. 1. 2√3. cos θ
7 = 1 + 12 − 4√3. cos θ
4√3. cos θ = 6
cos θ = 64√3 (rasionalkan)
cos θ = 12√3⇒ θ = 30°

3.9 Menyelesaikan Luas segitiga jika diketahui: 1 sudut 2 sisi, 3 sisi, 2 sudut 1 sisi

Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut B dan C berturut-turut ialah 30o dan 37o. Jika panjang sisi di antara dua sudut tersebut ialah 8 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.

penyelesaian:
Dik : B = 30o, C = 37o, a = 8 cm
Dit : L = .... ?

Langkah pertama kita tentukan besar sudut A :⇒ A + B + C = 180o⇒ A = 180o - (B + C)⇒ A = 180o - (30o + 37o)⇒ A = 180o - 67o⇒ A = 113o

Berdasarkan rumus di atas :

⇒ L =	a2 sin B sin C
	2 sin A

⇒ L =	82 sin 30o sin 37o
	2 sin 113o

⇒ L =	64 (0,5) (0,6)
	2 (0,92)

⇒ L =	19,2
	1,84

⇒ L = 10,42 cm

3.10 Menyelesaikan gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot (x)

Grafik fungsi f(x)=−2cos3x,−π≤x≤π adalah⋯⋅

Bentuk umum fungsi cosinus adalah f(x)=acos kx. Oleh karena f(x)=−2cos3x, makaa=−2 dan k=3.
Amplitudo grafiknya adalah −(−a)=a=2 dan saat x=0∘, nilai fungsinya adalahf(0)=−2cos3(0)=−2(1)=−2,
sehingga pilihan B, D, E tereliminasi.
Karena k=3, maka periode fungsinya adalah
k=2π/Periode

3=2π/Periode⇔Periode=2/3π
periode grafiknya dapat dilihat dengan observasi berikut: dari titik x=0 ke titik x=π terdapat 1,5 gelombang (1,5 lembah; 1,5 bukit), sehingga periodenya adalah π−01,5=23πJadi, grafik fungsi f(x)=−2cos3x adalah

3.10 Menyelesaikan membaca gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah?

Beranjak dari grafik sinus: karena kurvabergeser (ke kiri) sejauh π2, maka bentuk umum grafik fungsinya adalahf(x)=y=asink(x−c).
Untuk grafik ini, nilai c yang menentukan pergeseran kurva adalah −π2 (tandanya negatif, karena grafik bergeser ke kiri).
Dimulai dari titik x=−π2 yang nilai fungsinya 0, grafik fungsi kembali bernilai0 dan berulang kembali di titik x=3π/2, sehingga periode grafik fungsinya adalah3π/2–(−π/2)=2π.
Dengan demikian,
k=2π/Periode=2π/2π=1Nilai a ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni
a=N. Maksimum−N. Minimum/2=2−(−2)/2=2 

Jadi, rumus grafik fungsinya adalahf(x)=2sin1(x+π2)=2sin(x+π2)

3.10 Menyelesaikan Range nilai fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini :
a. f(x) = 4 sin x
b. f(x) = 3 cos x
c. f(x) = -2 cos x
d. f(x) = 2 sec x
e. f(x) = 2 csc x

penyelesaian

a. f(x) = 4 sin x → f'(x) = 4 cos x
b. f(x) = 3 cos x → f'(x) = -3 sin x
c. f(x) = -2 cos x → f'(x) = -2 (-sin x) → f'(x) = 2 sin x
d. f(x) = 2 sec x → f'(x) = 2 sec x . tan x
e. f(x) = 2 csc x → f'(x) = 2 (-csc x . cos x) → f'(x) = -2 csc x . cot x

3.7 Menyelesaikan sudut elevasi, sudut depresi

3.10 Menyelesaikan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan untuk menentukan periode maksimum dan minimum

Tentukanlah periode, nilai maksimum, minimum, dan amplitudo dari fungsi 

f(x) = 2 sin 2x + 5

penyelesaian:
f(x) = 2 sin 2x + 5 → a = 2 , b = 5
Nilai maksimum = |a| + b = |2| + 5 = 7
Nilai minimum = -|a| + b = -|2| + 5 = 3
Amplitudo = ½ (7 – 3 ) = ½ . 4 = 2