Sifat-Sifat Limit
1. lim x →a c = c
Contoh: tentukan nilai lim x →2⁷
Jawab:
Diketahui:
a = 2
c = 7
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a c = c, maka :
lim x →2⁷ = 7
Jadi nilai dari lim x →2⁷ adalah 7
2. lim x →a xn = an
Contoh: tentukan nilai lim x →2 x³
Jawab:
Diketahui:
a = 2
n = 3
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a xn = an , maka :
lim x →2 x³ = 2³
lim x →2 x³ = 8
Jadi nilai dari lim x →2 x³ adalah 8
3. lim x →a c f(x) = c lim x →a f(x)
Contoh: Tentukan nilai lim x →2^4( x + 2 )
Jawab:
Diketahui:
a = 2
c = 4
f(x) = ( x + 2 )
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a c f(x) = c lim x →a f(x), maka :
lim x →2^4(x + 2) = 4 (lim x →2^( 2 + 2 ))
lim x →2^4(x + 2) = 4 (lim x →2^4)
lim x →2^4(x + 2) = 16
Jadi nilai lim x →2^4( x + 2 ) adalah 16
4. lim x →a ( f(x) + g(x)) = lim x →a f(x) + lim x →a g(x)
Contoh: Tentukan nilai lim x →2 (x³ + x⁴)
Jawab:
Diketahui:
a = 2
f(x) = x³
g(x) = x⁴
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a ( f(x) + g(x)) = lim x →a f(x) + lim x →a g(x), maka :
lim x →2(x³ + x⁴) = lim x →2^x³ + lim x →a x⁴
lim x →2(x³ + x⁴) = 2³ + 2⁴
lim x →2(x³ + x⁴) = 8 + 16
lim x →2(x³ + x⁴) = 24
Jadi nilai dari lim x →2 ( x³ + x⁴) adalah 24
5. lim x →a ( f(x) x g(x)) = lim x →a f(x) x lim x →a g(x)
Contoh: Tentukan nilai lim x →2 (x³ . x⁴)
Jawab:
Diketahui:
a = 2
f(x) = x³
g(x) = x⁴
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a ( f(x) x g(x)) = lim x →a f(x) x lim x →a g(x), maka :
lim x →2 (x³ . x⁴) = lim x →2 x³ . lim x →2 x⁴
lim x →2 (x³ . x⁴) = 2³ . 2⁴
lim x →2 (x³ . x⁴) = 8 . 16
lim x →2 (x³ . x⁴) = 128
Jadi nilai dari lim x →2 (x³ . x⁴) adalah 128
6. lim x →a f(x)/g(x) = (lim x →a f(x))/(lim x →a g(x))
Contoh: Tentukan nilai lim x →2 (x⁴ / x³)
Jawab:
Diketahui:
a = 2
f(x) = x⁴
g(x) = x³
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus limx →a ( f(x)/g(x)) = (lim x →a f(x))/(lim x →a g(x)), maka :
lim x →2 ( x⁴/x³) = (lim x →2 x⁴)/(lim x →2 x³)
lim x →2 ( x⁴/x³) = 2⁴/2³
lim x →2 ( x⁴/x³) = 16/8
lim x →2 ( x⁴/x³) = 2
Jadi nilai dari lim x →2 ( x⁴/x³) adalah 2
7. lim x →a f(x)n = (lim x →a f(x))n
Contoh: Tentukan nilai lim x →2 ( x⁴ + 1)²
Jawab:
Diketahui:
a = 2
f(x) = x⁴+ 1
n = 2
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a f(x)n = (lim x →a f(x))n, Maka :
lim x →2 (x⁴ + 1)² = (lim x →2 x⁴ + 1)²
lim x →2 (x⁴ + 1)² = (2⁴ + 1)²
lim x →2 (x⁴ + 1)² = (16 + 1)²
lim x →2 (x⁴ + 1)² = 17²
lim x →2 (x⁴ + 1)² = 289
Jadi nilai dari lim x →2 (x⁴ + 1)² adalah 289
8. lim x →a n√ f(x) = n√lim x →a f(x)
Contoh: Tentukan nilai lim x →2²√x4
Jawab:
Diketahui:
a = 2
f(x) = x⁴
n = 2
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a n√ f(x) = n√lim x →a f(x), maka :
lim x →2²√x⁴ = ²√lim x →2 x4
lim x →2²√x⁴ = ²√24
lim x →2²√x⁴ = ²√16
lim x →2²√x⁴ = 4
Contoh Soal
1. Seekor lebah diamati sedang hinggap di tanah pada sebuah lapangan. Pada suatu saat, lebah tersebut diamati terbang membentuk sebuah lintasan parabola. Setelah terbang selama 1 menit, lebah tersebut telah mencapai ketinggian maksimum sehingga ia terbang datar setinggi 5 meter selama 1 menit. Pada menit berikutnya, lebah tersebut terbang menukik lurus ke tanah sampai mendarat kembali pada akhir menit ketiga.
dengan a, b, c, m, n bilangan real. diperoleh data sebagai berikut:
- Misalkan posisi awal lebah pada saat hinggap di tanah adalah posisi pada waktu t = 0 dengan ketinggian 0, disebut titik awal O(0,0)
- Kemudian lebah terbang mencapai ketinggian maksimum 5 meter pada waktu t = 1 sampai t = 2, di titik A(1,5) dan B(2,5).
- Pada akhir waktu t = 2, lebah kembali terbang menukik sampai hinggap kembali di tanah dengan ketinggian 0, di titik C(3,0).
Berdasarkan data tersebut, kita akan menentukan fungsi lintasan lebah, dengan langkah-langkah berikut.
- Substitusi titik O(0,0) ke fungsi kuadrat f(t)= at2 + bt + c diperoleh c = 0.
- Substitusi titik A(1,5) ke fungsi kuadrat f(t)= at2 + bt + c diperoleh a + b + c = 5, karena c = 0, maka a + b = 5.
- Karena fungsi kuadrat mencapai maksimum pada saat t = 1 maka
atau 1 b = –2a.
- Dengan mensubstitusi b = –2a ke a + b = 5 maka diperoleh a = –5 dan b = 10.
- Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah f(t) = –5t 2 + 10t.
Lebah tersebut terbang konstan pada ketinggian 5 maka fungsi lintasan tersebut adalah f(t) = 5.
Substitusi titik B(2,5) ke fungsi linear f(t) = mt + n, diperoleh 5 = 2m + n.
8 Substitusi titik C(3,0) ke fungsi linear f(t) = mt + n, diperoleh 0 = 3m + n atau n = –3m.
- Dengan mensubstitusi n = –3m ke 5 = 2m + n maka diperoleh m = – 5 dan n = 15.
- Fungsi linear yang dimaksud adalah f(t) = –5t + 15.
Selanjutnya limit fungsi pada saat t = 1 dan t = 2 dapat dicermati pada tabel berikut.
Dari pengamatan pada tabel, dapat kita lihat bahwa y akan mendekati 5 pada saat t mendekati 1 dan y akan mendekati 5 pada saat t mendekati 2. Perhatikan strategi lainnya. Mari perhatikan nilai fungsi pada t mendekati 1 dari kiri dan kanan, sebagai berikut:
Untuk t mendekati 1
lim->1- -5t²+10t = 5(disubtitusikan)
lim->1+ 5 = 5 (karena sudah pasti)
Untuk t mendekati 2
lim->2- 5 = 5 (karena sudah pasti)
lim-2+ -5t+15 = 5 (disubtitusikan)
berarti dapat dinyatakan lim->2 + 5= lim->2- - 5t² + 10t
sehingga fungsi lintasan tawon mempunyai limit sebesar 5 pada saat t mendekati 2
2. 
Jawab:
3. Tentukan nilai dari limit berikut menggunakan teorema L’Hopital:
Jawabannya yang diperoleh menggunakan teorema L’hopital sama dengan cara substitusi langsung, namun perbedaanya adalah hasil yang diperoleh lebih cepat.
Dalam penyelesaian, bentuk limit yang mengandung akar seperti di bawah ini:
Penyelesaian bentuk limit akan menghasilkan suatu nilai yang tak tentu 0/0. Apabila terdapat bentuk soal di atas, kita harus memodifikasinya menggunakan konsep aturan L’Hopital sehingga hasil modifikasi fungsi akar tersebut bentuknya akan menjadi seperti di bawah ini:
4. Diketahui:
5. Diketahui:
No comments:
Post a Comment