Kania Az Zahra : BARISAN DAN DERET ARITMATIKA DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Nama: Kania Az Zahra (18)

Kelas: XI IPS 2

Barisan merupakan urutan dari suatu anggota-anggota himpunan berdasarkan suatu aturan tertentu. Setiap anggota himpunan diurutkan pada urutan/suku pertama, kedua, dan seterusnya. Untuk menyatakan urutan/suku ke-n dari suatu barisan dinotasikan $U_n$ . Barisan juga dapat didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya himpunan bilangan asli. Sehingga, $U_n = f(n)$

Misalkan $U_n = (2n + 1)$ , maka suku ke-4 dari baris tersebut adalah $U_4 = (2(4) + 1) = 9$ .

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Penjumlahan suku-suku tersebut bisa dibuat dalam bentuk sigma. Barisan dari suku U₁, U₂, U₃, …, U_n yang dinyatakan dalam fungsi f(n) = U_n $f(n) = U_n$ memiliki deret sebagai:

$U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_n = \sum \limits_{i=1}^{n} {U_i}$

Baris Aritmatika

Baris aritmatika merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Sehingga:

$U_n - U_{(n - 1)} = b$

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b). rumusannya berikut ini:

$U_n = U_k + (n - k)b$

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama $U_k = a$ dan selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 dan nilai $U_n$ adalah:

$U_n = a + (n - 1)b$

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_{(n-1)}$

atau sebagai:

$S_n + a + (a + b) + (a + 2b) + \cdots + (a + (n - 2)b) + (a + (n - 1)b)$

Jika hanya diketahui nilai a dalalah suku pertama dan nilai adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

$S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots +U_(n-1)$ .

$S_(n-1) = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_(n-1)$ .

$S_n - S_(n-1) = U_n$

Sehingga diperoleh $U_n = S_n - S_(n-1)$ .

Sisipan

Jika hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika dan memiliki selisih antar suku beredekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah suku q + 2 dan diurut berupa:

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1)b)

Diketahui bahwa suku terakhir:

(a + (q+1)b) = p

Maka, nilai b dapat ditentukan sebagai:

$b = \frac{p-a}{q+1}$

Misalkan a= 1 dan p = 9, jika disisipkan 3 bilangan diantara a dan p, maka baris belangan aritmatikanya adalah:

Nilai q = 3
Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5
$b = \frac{9-1}{3+1} = \frac{8}{4}= 2$
Baris aritmatika : 1, 3, 5, 7, 9

Suku Tengah

Jika barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, maka memiliki suku tengah. Suku tengah baris aritmatika adalah suku ke- $\frac{1}{2}(n+1)$ . Jika diselesaikan dalam rumus $U_n = a + (n - 1)b$ , maka nilai suku tengah didapatkan:

$U_n = a + (n - 1)b$

$U_{\frac{1}{2}(n + 1)} = a + (\frac{1}{2}(n + 1) - 1)b$

$= a + (\frac{1}{2}n - \frac{1}{2})b = a + \frac{1}{2}(n - 1)b$

$= \frac{2a+(n - 1)b}{2} = \frac{a + a(n - 1)b}{2}$

$U_{\frac{1}{2}(n + 1)} = \frac{a + U_n}{2}$

Contoh soal

1. Jumlah suku yang pertama dari barisan 20 + 15 + 10 +…… adalah …..

a). -550

b). -250

c). -75

d). -115

e). -250

Penyelesaian :

a = 20

b = U2-U

= 15-

= -5

Sn = n (a + Un)
Un = a + (n – 1) b
U20 = 20 + (20-1)(-5)
        = 20 + (19) (-5)
        = 20 – 95
        = – 75
S20 = 20 (20 + (-75))
       = 10 (-55)
S20 = – 550

Jawaban: a

2. Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika : 3 + 5 + 7 + 9 + ….. adalah?

a). 105

b). 120

c). 150

d). 155

e). 1

penyelesaian

a = 3

b = U3 – U2 – 1

= U3 – U2

= 7 – 5

= 2

Sn = n (2a + (n-1)b)
     = 10 (2 (5) + (10-1)2)
     = 5 (6+9) 2
     = 120

Jawaban: b

3. Diketahui barisan aritmatikan dengan U4 = 11 dan U8 = 23. Suku ke 15 dari suku barisan aritmatika itu

a). 345

b). 44

c). 49

d). -40

e). -44

Penyelesaian :

Un = a + (n-1)b
= a + (4-1)b = 11
= a + 36 = 11
U8 = a + (8-1)b = 23
= a + 7b = 23

Eliminasi a + 3b = 11

a + 7b = 23

-4b = -12

b = = 3

Substitusi a + 3b = 11

a + 3 (3) = 11

a + 9 = 11

a = 11 – 9 = 2

U15
Un = a + (n-1) b
U15 = 2 + (15-1) 3
= 2 + (14 x 3) = 44

Jawaban: b

4. Dari suatu barisan aritmatika diketahui U2 = 7 dan U6 = 19. Suku ke 8 dari barisan aritmatika tersebut adalah …..

a). 25

b). 26

c). 28

d). 31

e). 34

Penyelesaian :

Un = a + (n-1) b
U2 = a + (2-1) b = 7
= a + 1b = 7
U6 = a + (6-1)b = 19
= a + 5b = 19

Eliminasi :

a + 1 b = 7
a + 5b = 19
-4b = -12
b = – = 3

Subtitusi :

b = 3
a + 1 b = 7
a + 1 (3) = 7
a + 3 = 7
a = 7 -3 = 4
U8
Un = a + (n-1) b
U8 = 4 + (8-1) 3
= 4 + (7 . 3)
= 25

Jawaban: a

5. Dari suatu barisan aritmatika diketahui U10 = 41 dan U5 = 21. U20 barisan tersebut adalah …..

a). 69

b). 73

c). 77

d). 81

e). 83

Penyelesaian :

Un = a + (n-1) b
U10 = a + (10-1)b = 41
U5 = a + (5-1)b = 21
a + 4b = 21

eliminasi :

a + 9b = 41
a + 4b = 21
5b = 20
b = = 4

subtitusi :

b = 4
a + 9b = 41
5 +a + (9.4) = 41
a + 36 = 41
a = 41- 36
= 5
U20
Un = a + (n-1)b
U20 = a + (n-1) b
U20 = 5 + (20+1) 4
        = 5 + (19.4)
        = 5 + 76
         = 81

Jawaban: d

Sumber

Kania Az Zahra

Monday, November 2, 2020

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

No comments:

Post a Comment