PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

Nama: Kania Az Zahra (18) 

Kelas: XI IPS 2

 

Kemonotonan fungsi sederhananya seperti ini, suatu fungsi dikatakan monoton jika fungsi tersebut naik terus ataupun turun terus pada suatu selang/interval

 

 

Pemahaman:

 

 

 

Diatas adalah grafik fungsi y = x², dapat dilihat bahwa grafik tersebut turun pada interval -∞ < x < 0 dan naik pada interval 0 < x < ∞

Perhatikan contoh konsep kemotonan fungsi dibawah.

 

 

fungsi f(x) naik ketika garis singgung miring ke kanan dan f(x) turun ketika garis-garis singgung miring ke kiri. Seperti yang diketahui, bahwa garis singgung yang miring ke kanan mempunyai gradien positif (+) dan yang miring ke kiri mempunyai gradien negatif (-). Artinya, untuk mengetahui dimana sebuah fungsi naik dan turun yaitu dengan melihat tanda positif dan negatif dari gradien garis singgung, untuk menentukan nilai gradiensebuah fungsi yaitu dengan turunan pertama.

Teorema Kemonotonan

Andaikan f kontinu pada interval I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I 

1. Jika f'(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I 
2. Jika f'(x) < 0 untuk semua titik dalam x  dari I, maka f turun pada I

Kecekungan

Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Grafik f akan cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada selang tersebut dan akan cekung ke bawah pada I jika f ’ turun pada selang tersebut.

Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna.

1. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke atas pada I, maka grafik f berada di atas semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah).
2. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke bawah pada I, maka grafik f berada di bawah semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (b) di bawah).

 

Untuk menemukan selang buka di mana suatu grafik fungsi f cekung ke atas atau cekung ke bawah, kita harus menemukan selang di mana f ’ naik atau turun. Sebagai contoh, grafik

akan terbuka ke bawah pada selang buka (– ∞, 0) karena

turun pada selang tersebut. Demikian pula, grafik f akan cekung ke atas pada selang (0, ∞) karena f ’ naik pada selang tersebut. Perhatikan gambar di bawah.

Teorema berikutnya menunjukkan bagaimana penggunaan turunan kedua suatu fungsi untuk menentukan selang di mana grafik f tersebut cekung ke atas atau cekung ke bawah. Bukti teorema ini merupakan akibat langsung dari Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun, dan definisi kecekungan.

 

Teorema Uji Kecekungan

Misalkan f adalah suatu fungsi yang turunan keduanya ada pada selang buka I.

1. Jika f ”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke atas pada I.
2. Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke bawah pada I.  

Untuk menerapkan Teorema Uji Kecekungan, tentukan lokasi nilai-nilai x sedemikian sehingga f ”(x) = 0 atau f ” tidak ada. Gunakan nilai-nilai x tersebut untuk menentukan selang uji. Kemudian, ujilah tanda f ”(x) pada masing-masing selang uji.

 

Contoh 1: Menentukan Kecekungan

Tentukan selang buka sedemikian sehingga grafik

cekung ke atas atau cekung ke bawah.

Pembahasan Jelas bahwa fungsi yang diberikan kontinu pada seluruh garis bilangan real. Selanjutnya, kita tentukan turunan kedua fungsi f.

Karena f ”(x) = 0 ketika x = ±1 dan f ” terdefinisi pada keseluruhan garis bilangan real, kita harus menguji f ” dalam selang (–∞, –1), (–1, 1), dan (1, ∞). Hasil pengujian ketiga selang tersebut dirangkum dalam tabel berikut.

 

 

Grafik fungsi f dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

 

  

Fungsi yang diberikan dalam Contoh 1 kontinu pada keseluruhan garis bilangan real. Jika ada nilai-nilai x yang menyebabkan fungsi tidak kontinu, nilai-nilai tersebut harus digunakan bersama dengan titik-titik yang menyebabkan f ”(x) = 0 atau f ”(x) tidak ada, untuk membentuk selang-selang uji.

Contoh 2: Menentukan Kecekungan

Tentukan selang buka sedemikian sehingga grafik

cekung ke atas atau cekung ke bawah.

Pembahasan Dengan menurunkan fungsi yang diberikan dua kali, dihasilkan

Berdasarkan turunan kedua f tersebut, kita dapat melihat bahwa tidak ada nilai x yang menyebabkan f ”(x) = 0, tetapi pada x = ±2, fungsi f tidak kontinu. Jadi, kita harus menguji kecekungan pada selang-selang (–∞,–2), (–2, 2), dan (2, ∞), seperti yang ditunjukkan tabel berikut.

Grafik fungsi f ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

 

 

Uji Turunan Kedua

Sebagai tambahan untuk menguji kecekungan, turunan kedua dapat digunakan untuk untuk melakukan pengujian terhadap maksimum dan minimum lokal. Pengujian ini berdasarkan fakta bahwa jika suatu grafik fungsi f cekung ke atas pada selang buka yang memuat c, dan f ’(c) = 0, maka f(c) haruslah minimum lokal f. Demikian juga, jika grafik suatu fungsi f cekung ke bawah pada selang buka yang memuat c, dan f ’(c) = 0, maka f(c) haruslah maksimum lokal f. Perhatikan gambar di bawah ini.

Teorema Uji Turunan Kedua

Misalkan f fungsi kontinu sedemikian sehingga f ’(c) = 0 dan turunan keduanya ada pada selang buka yang memuat c.

1. Jika f ”(c) > 0, maka f memiliki minimum lokal pada (c, f(c)).
2. Jika f ”(c) < 0, maka f memiliki maksimum lokal pada (c, f(c)).

Jika f ”(c) = 0, maka pengujiannya gagal, atau dengan kata lain, f mungkin memiliki maksimum lokal, minimum lokal, atau tidak memiliki keduannya. Pada kasus ini, kita harus menggunakan Uji Turunan Pertama.

 

Pembuktian Jika f ’(c) = 0 dan f ”(c) > 0, maka ada selang buka I yang memuat c sedemikian sehingga

untuk semua x ≠ c dalam I. Jika x < c, maka f ’(x) < 0. Demikian juga, jika x > c, maka x – c > 0 dan f ’(x) > 0. Jadi, f ’(x) berubah dari negatif menjadi positif pada c, dan berdasarkan Uji Turunan Pertama, f(c) merupakan minimum lokal f. Pembuktian kasus kedua serupa dengan pembuktian kasus pertama tersebut.

Contoh 3: Menggunakan Uji Turunan Kedua

Tentukan ekstrim lokal

Pembahasan Pertama kita tentukan turunan pertama fungsi tersebut.

Berdasarkan turunan ini, kita dapat melihat bahwa hanya x = –1, 0, dan 1 yang menjadi nilai kritis f. Dengan menemukan turunan keduanya

kita dapat menerapkan Uji Turunan Kedua seperti yang ditunjukkan oleh tabel berikut.

 

 

Karena Uji Turunan Kedua gagal pada (0, 0), kita dapat menggunakan Uji Turunan Pertama dan melihat bahwa f naik dari kiri ke kanan x = 0. Sehingga, (0, 0) bukanlah minimum lokal ataupun maksimum lokal. Grafik f tersebut ditunjukkan oleh gambar berikut.

 

 

Contoh Soal yang Berkaitan dengan Turunan

1. Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling $(2x+24)$ meter dan lebar $(8-x)$ meter. Agar luas taman maksimum, panjang taman tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $4$                      C. $10$                  E. $13$
B. $8$                      D. $12$           

Pembahasan:

 

2. Proyek pembangunan suatu gedung dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $(3x-180+\frac{5.000}{\mathrm{/x}})$ ratus ribu rupiah. Biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\cdots$ juta rupiah. 
A. $220$                      C. $230$                  E. $280$   
B. $225$                      D. $260$

Pembahasan:

 

3. Untuk memproduksi $x$ unit pakaian dalam satu hari diperlukan biaya produksi $(x^2+4x-10)$ ratus ribu rupiah. Harga jual pakaian itu tiap unitnya adalah $(20-x)$ ratus ribu rupiah. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah?

A. Rp1.200.000,00        D. Rp2.000.000,00
B. Rp1.500.000,00        E. Rp2.200.000,00
C. Rp1.800.000,00

Pembahasan:

 

4. Suatu perusahaan memproduksi $x$ unit barang dengan biaya $(4x^2-8x+24)$ ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah?

A. Rp16.000,00                    D. Rp52.000,00
B. Rp32.000,00                    E. Rp64.000,00
C. Rp48.000,00

Pembahasan:

 

5. Dari kawat yang panjangnya $500$ meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu rusuknya $25$ meter. Jika volume baloknya maksimum, maka panjang dua rusuk lainnya adalah $\cdots$ meter. 

A. $10$ dan $90$                D. $40$ dan $60$

$\mathrm{B.\; 15\; dan\; 85 \; \; \; \; \; \; \; \; E.\; 50\; dan\; 50}$

$\mathrm{C.\; 25\; dan\; 75}$

$\mathrm{Pembahasan:}$

   

Sumber:

• https://edumatik.net/kemonotonan-fungsi-dan-contoh-soal/ 
• https://yos3prens.wordpress.com/2015/03/24/penerapan-turunan-kecekungan-dan-uji-turunan-kedua/ 
• https://iqbalzazuli.wordpress.com/2016/04/25/penerapan-turunan-kecekungan-dan-uji-turunan-kedua/ 
• https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-aplikasi-turunan-diferensial/